原标题:为什么磁感应强度的散度等于零?《张朝阳的物理课》介绍毕奥-萨伐尔定律

为什么磁感应强度的散度等于零?怎么计算恒定电流产生的磁感应强度?洛伦兹力的微分形式是怎样的?8月5日12时,《张朝阳的物理课》第七十六期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇直播间,先带着网友们复习了麦克斯韦方程组,然后介绍了洛伦兹力的微分形式,接着介绍了安培环路定理与毕奥-萨伐尔定律,最后分别使用了毕奥-萨伐尔定律与安培环路定理求出了无穷长直电流的磁感应强度。

带电粒子在电磁场中不仅会受到电场的作用力,还会受到磁场的作用力,这个力就是洛伦兹力。带电量为q的粒子在电磁场中受到的合力为:

在很多实际场景中,人们需要求解的是带有电荷分布、电流分布的物体所受的电磁力,因此微分形式的受力公式更方便。为了找出相应的形式,张朝阳考虑了一个以速度v运动的带电微元dτ,电荷密度为ρ,根据上面的公式,这个带电微元所受电磁力为:

其中j=ρv是电流密度。电流密度与电荷密度的这个关系之所以成立,是因为电流的形成源于电荷的移动,根据电流密度的定义即知道此关系的成立。上式就是微分形式的电磁力公式。如果在等式两边同时除以dτ,那么:

麦克斯韦方程组只对电磁场作出了限制,它们在处理电磁场中的物体动力学时是不足的,必须引入电磁力方程与力学定律。另一方面,虽然电荷守恒方程可以由麦克斯韦方程组推导出来,但是由于电荷守恒是一个很重要的结论,在计算上也经常用到,因此电荷守恒方程也经常被单独列出来。总的来说,在求解电动力学的问题时,所用电磁学方程一个有六个:

介绍完洛伦兹力之后,张朝阳开始介绍安培环路定理与毕奥-萨伐尔定律。安培环路定理本质上是第四个麦克斯韦方程在稳恒情况下的特例,此时电场不随时间变换,因此:

这就是安培环路定理。在一些对称性良好的情况下,使用安培环路定理可以很方便地求出磁感应强度的分布。

对于一般的电流分布,应该怎样求它的磁感应强度分布呢?这就需要使用毕奥-萨伐尔定律了:

其中dτ’是r’对应的体积元,e_{r-r’}是从r’指向r的单位矢量。

在上一次直播课中,张朝阳不加证明地使用了“恒定电流产生的磁场的散度为零”这样一个结论,在本次直播课中,他借助毕奥-萨伐尔定律给出了证明。首先,直接取上式的散度,注意到散度是对r而非r’做的,因此可以直接移进积分好,得到:

其中第二个等号之所以成立是因为电流密度j是r’的函数,而旋度算符是对变量r作用的。接下来需要求出上式最后一行中大圆括号中的旋度结果,为此,张朝阳将整个系统平移使得r’来到坐标原点,然后借助球坐标的表达式:

张朝阳强调,可以通过对毕奥-萨伐尔定律表示的磁感应强度求旋度来证明安培环路定理,他建议网友们可以尝试推导一下。

作为安培环路定理与毕奥-萨伐尔定律的应用,张朝阳介绍了无穷长直电流的磁感应强度分布的求解。

假设无穷长直电流dI被放在z轴上,考虑距离电流导线为R的位置,这里的磁感应强度有多大呢?

张朝阳先使用了毕奥萨伐尔定律。由于电流只在z轴上有分布,因此电流密度为:

假如矢量k与e_r所组成的平面平行于纸面,并且e_r在电流的右边,那么矢量k×e_r是指向纸面向内的,这就是磁感应强度B的方向。设矢量k与e_r夹角为θ,那么容易知道sin(θ)=R/r,所以:

可见,直接用毕奥-萨伐尔定律求磁感应强度是比较繁琐的。由于这个模型具有旋转对称性,结合右手定则可以知道磁感应强度分布具有旋转对称性,并且在电流的右边时磁感应强度是指向纸面向内的。在垂直电流的平面上以电流所在位置为圆心作一个半径为r的圆形环路。根据这里的分析,可以知道磁感应强度在圆形环路上处处与环路相切,因此:

这个结果与直接使用毕奥-萨伐尔定律所求结果是一致的,而且,使用安培环路定理更方便,可以避免繁琐的积分运算。

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在直播,网友可以在“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐,查看更多

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